【音乐畅谈】音乐中的数学(三)

　　如果从C开始依次用频率比3∶2制出新的音，在某一次新的音恰好是C的高若干个八度音，那么再往后就不会产生新的音了。很可惜，数学可以证明这是不可能的，因为没有自然数m、n会使下式成立：

　　(3/2)m=2n

　　此时，理性思维的自然发展是可不可以成立近似等式？经过计算有(3/2)5=7.594≈23=8，因此认为与1之比是23即高三个八度关系算作是同一音，而(3/2)6与(3/2)1之比也是23即高三个八度关系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意义上说，总共只有5个音，他们的频率是：

　　1,(3/2),(3/2)2,(3/2)3,(3/2)4(1)

　　折合到八度之内就是：

　　1,9/8,81/64,3/2,27/16

　　对照表1知道这5个音是C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），这是所谓五声音阶，它在世界各民族的音乐文化中用得不是很广，不过我们熟悉的“卖报歌”就是用五声音阶作成。

　　接下来根据(3/2)7=17.09≈24=16，总共应由7个音组成音阶，我们在(1)的基础上用3∶2的频率比上行一次、下行一次得到由7个音组成的音列，其频率是

　　(2/3),1,(3/2),(3/2)2,(3/2)3,(3/2)4,(3/2)5

　　折合到八度之内就是：

　　1,9/8,81/64,4/3,3/2,27/16,243/128

　　得到常见的五度律七声音阶大调式如表一。

　　考察一下音阶中相邻两音的频率之比，通过计算知道只有两种情况：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si频率之比是9∶8，称为全音关系；mi-fa、si-do频率之比是256∶243，称为半音关系。

　　以2∶1与3∶2的频率比关系产生和谐音的法则称为五度律。在中国，五度律最早的文字记载见于典籍《管子》的《地员篇》，由于《管子》的成书时间跨度很大，学术界一般认为五度律产生于公元前7世纪至公元前3世纪。西方学者认为是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派最早提出了五度律。

　　根据近似等式(3/2)12=129.7≈27=128并仿照以上方法又可制出五度律十二声音阶如下：

　　表二：

　　音名C#CD#DEF#F

　　频率1(37)/(211)(32)/(23)(39)/(214)(34)/(26)(22)/(3)(36)/(29)

　　音名G#GA#ABC

　　频率3/2(38)/(212)(33)/(24)(310)/(215)(35)/(27)2

　　五度律十二声音阶相邻两音的频率之比有两种：256∶243与2187∶2048，分别称为自然半音与变化半音。从表中可看到，音名不同的两音例如#C-D的关系是自然半音，音名相同的两音例如C-#C的关系是变化半音。

　　人类历史进程中，某种音乐文化的发生不可能限于一时或一地，但五度律几乎同时在东西方出现，毕竟表明了人类艺术禀赋的贯通。

　　三

　　五度律以外的形形色色的乐律中应用最广的是十二平均律与纯律。

　　十二平均律——人们注意到五度律十二声音阶中的两种半音相差不大，如果消除这种差别对于键盘乐器的转调将是十分方便的，因为键盘乐器的每个键的音高是固定的，而不象拨弦或拉弦乐器的音高由手指位置决定。消除两种半音差别的办法是使相邻各音频率之比相等，这是一道中学生的数学题——在1与2之间插入11个数使它们组成等比数列，显然其公比就是，并且有如下的不等式

　　1.05350=256/243＜=1.05946＜2187/2048=1.06787

　　这样获得的是十二平均律，它的任何相邻两音频率之比都是，没有自然半音与变化半音之分。